เราเรียน linear algebra กันไปทำไม

“กุ๋ย เราเรียน linear algebra กันไปทำไมวะ”

ผมค้นพบตอนเตรียมสอนวิชา linear algebra ครั้งล่าสุดเมื่อสองปีก่อนว่านี่เป็นคำถามที่ตอบยากกว่าที่คิด ไม่ใช่เพราะว่า linear algebra เป็นวิชาที่ไม่มีตัวอย่างการประยุกต์ใช้ให้เอามาตอบ ตรงข้ามเลย มันมีเยอะมากต่างหาก เยอะมากจนต้องถามคนฟังก่อนว่าคุณเป็นใคร เพราะถึงแม้ว่าประธานในประโยคคำถามจะเป็นคำว่า ‘เรา’ ซึ่งกำกวมนิดหน่อยว่าหมายถึงเราไหน ถ้าเราในที่นี้หมายถึงมนุษยชาติ ผมยกตัวอย่างอะไรก็ได้ มีตัวอย่างการใช้ linear algebra เยอะแยะไปหมด แต่ถ้าเราในที่นี้หมายถึงตัวคนถาม มันก็อยู่ที่ว่าคนถามเป็นใคร และการยกตัวอย่างในวิชาเคมีให้ฟังคงไม่ทำให้นักเศรษฐศาสตร์คล้อยตามได้มากเท่าไรว่าวิชานี้มันมีประโยชน์มากแค่ไหน ดังนั้นคำถามนี้จึงเป็นคำถามที่ต้องตอบแบบวัดตัวตัด

ปัญหาที่ตามมาก็คือ ผมไม่ได้รู้ทุกศาสตร์ในโลก ยิ่งศาสตร์แปลก ๆ ที่ผมไม่รู้ด้วยซ้ำว่าเขาเรียนอะไรกัน จะให้ผมพูดถึง linear algebra ในศาสตร์ของเขาคงเป็นไปไม่ได้ ตอนเตรียมสอนครั้งนั้นผมจึงคิดวิธีตอบคำถามนี้ใหม่ เป็นคำตอบแบบกว้าง ที่น่าจะใช้ได้กับศาสตร์อะไรก็ตาม

พูดแบบ math modeling มนุษย์เราพยายามทำความเข้าใจพฤติกรรมของธรรมชาติทุกอย่างผ่าน 3 ประเด็น

ประเด็นแรกคือความเปลี่ยนแปลง ซึ่งอาจจะเรียกว่าความเคลื่อนไหว พลวัต หรืออะไรก็ได้ ความเร็วของวัตถุที่ตกลงมาจากฟ้านั้นเปลี่ยนแปลง ความเข้มข้นของสารเคมีเปลี่ยนแปลงในระหว่างเกิดปฏิกิริยา จำนวนประชากรที่เปลี่ยนแปลงไป ความต้องการซื้อ ต้องการขาย ทุกอย่างเปลี่ยนแปลง และเครื่องมือที่ดีที่สุดที่มนุษย์มีสำหรับใช้ศึกษาความเปลี่ยนแปลงคือแคลคูลัส ดังนั้นถ้าคุณสงสัยว่าศาสตร์ของคุณต้องใช้แคลคูลัสไหม ให้ถามตัวเองว่าปริมาณที่คุณสนใจศึกษาอยู่นั้นมีความเปลี่ยนแปลงบ้างหรือเปล่า ถ้ามี คุณก็ต้องมีแคลคูลัส

อย่างที่สอง ความผันผวน ซึ่งอาจจะถูกเรียกว่า ความไม่แน่นอน ความมั่วซั่ว ความสุ่ม จะมีคนโทรเข้ามากี่คนก็ไม่รู้ แมลงจะบินไปทางไหนก็ไม่รู้ สุ่มข้อมูลมาหาค่าเฉลี่ยอาจจะผิดพลาดเท่าไรก็ไม่รู้ นี่เป็นงานของวิชาความน่าจะเป็น ถ้าคุณฝากเงินไว้กับธนาคาร คุณรู้ว่าเงินของคุณจะเพิ่มขึ้นแน่ ๆ ด้วยอัตราที่กำหนดไว้ตายตัว มีความเปลี่ยนแปลง ไม่มีความผันผวน คุณต้องการแค่แคลคูลัส แต่ถ้าคุณไม่ได้ฝากเงินแต่ซื้อหุ้นแทน ความนี้มันมีทั้งความเปลี่ยนแปลงทั้งความผันผวน แคลคูลัสและความน่าจะเป็นก็จะต้องทำงานร่วมกัน

ทีนี้มาถึงอย่างที่สาม นั่นคือความซับซ้อน ถ้าปริมาณที่คุณศึกษาเปลี่ยนแปลงและผันผวน แต่มีแค่ปริมาณเดียว ชีวิตนี้คุณไม่ต้องมี linear algebra ก็ได้ แต่ถ้าคุณเริ่มสนใจปริมาณมากกว่าหนึ่งปริมาณ แถมปริมาณพวกนั้นมันดันเกี่ยวข้องกันทางใดทางหนึ่งด้วย ผมเรียกสิ่งนี้ว่าความซับซ้อน หรือถ้าพูดเป็นคณิตศาสตร์หน่วยก็คือมิติที่สูงขึ้น เช่นถ้าคุณขยับจากการซื้อหุ้นตัวเดียวเป็นซื้อหุ้นหลายตัว ซึ่งราคาของแต่ละตัวอาจจะขึ้นลงพร้อมกันบ้างไม่พร้อมกันบ้าง คราวนี้คุณไม่ได้มีแค่ความเปลี่ยนแปลงและความผันผวน แต่สิ่งที่คุณสนใจนั้นมีความซับซ้อนด้วย หรือแทนที่คุณจะสนใจความเข้มข้นของสารเคมีตัวเดียว แต่คุณสนใจพร้อมกันเลยเป็นสิบตัวซึ่งซับซ้อนกว่า นั่นคืองานของ linear algebra

นี่คือเหตุผลที่สามวิชานี้มักจะถูกจัดให้เป็นวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานของหลาย ๆ ศาสตร์ เพราะไม่ว่าคุณจะเรียนศาสตร์อะไร มนุษย์ก็พยายามวอแวอยู่กับสามเรื่องนี้แหละ ความเปลี่ยนแปลง ความผันผวน และความซับซ้อน เครื่องมือทางคณิตศาสตร์แทบทั้งหมดที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ก็มีฐานมาจากสามวิชานี้นั่นแหละ อยู่ที่ว่าในจังหวะไหนใครได้มีซีนบ้าง อย่างการทำ regression ในวิชาสถิติ เราสนใจจะลดค่า error ของ model ให้ต่ำที่สุด เมื่อโมเดลนั้นซับซ้อนเพราะมีหลายพารามิเตอร์ linear algebra ก็จะได้ซีนตรงนั้นไป พอมันมีหลายพารามิเตอร์มาก ๆ จนแก้สมการไม่ไหว ต้องใช้วิธีการ iteration จนลู่เข้าคำตอบ อ่าว มีความเปลี่ยนแปลงเข้ามา แคลคูลัสก็จะเข้ามาเสริมทัพ และเมื่อเราได้คำตอบแล้ว ถ้าอยากเอา error มาวิเคราะห์ แต่ error มันดันขึ้น ๆ ลง ๆ มั่วซั่ว ก็ถึงจุดที่ต้องเรียกใช้ความน่าจะเป็น

ทั้งสามเสาหลักทำงานสอดประสานกันแบบนี้ตามหน้าที่ของตัวเอง รวมร่างกันแบบนั้นแบบนี้กลายเป็นวิชาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์อีกหลายตัวไม่ว่าจะเป็น สถิติ เวกเตอร์แคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์ ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข การหาค่าสุดขีด ไปจนถึงพวก machine learning ที่ดูล้ำสุด ๆ ก็ไม่ได้มีอะไรไปมากกว่าแค่การเอาสามวิชาที่เป็นเสาหลักนี้มารวมร่างกันอย่างโลดโผนโจนทะยานเท่านั้นเอง

ดังนั้นคำตอบของคำถามแรกสุดที่ว่า เราเรียน linear algebra กันไปทำไมก็คือ อยู่ที่ว่าคุณเป็นใคร ปริมาณที่คุณศึกษานั้นซับซ้อนรึเปล่า มีตัวแปรเยอะ ๆ ที่อาจจะเกี่ยวข้องกันบ้างไหม ถ้าคำตอบคือมี แปลว่ายังไงคุณก็ต้องการ linear algebra ไว้ใช้

แต่ถ้าคำตอบคือไม่ ผมขอเดาว่าคุณแค่อาจจะแค่ยังเรียนมันไปลึกไม่พอ